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@@ -45,7 +45,17 @@ The actual material (text that is read) is in Japanese.
 - The Fourier transform: s(t) ↔ S(ω); decomposes a signal into its constituent frequencies
 - Analog signals carry frequency components from DC to arbitrarily high frequencies
 
-### 4. Discrete time
+### 4. Filters
+- A filter is an LTI system — characterized by its frequency response H(ω)
+  - H(ω) is the Fourier transform of the impulse response h(t)
+  - Filtering: shaping a signal's spectrum by selectively attenuating or preserving frequency bands
+- Basic types: lowpass, highpass, bandpass
+  - Lowpass: passes low frequencies, attenuates high
+  - Highpass: passes high frequencies, attenuates low
+  - Bandpass: passes a target band, attenuates above and below
+- In discrete time: finite impulse response (FIR) and infinite impulse response (IIR) filters
+
+### 5. Discrete time
 - Discretization on two axes: amplitude and time
   - Amplitude: bit depth; finite resolution; hard clip at boundary (unlike analog soft limits)
 - A signal's frequency spectrum, not its time-domain values alone, determines what is lost in sampling
@@ -56,9 +66,12 @@ The actual material (text that is read) is in Japanese.
   - Components above Fs/2 are lost: aliasing
 - LTI and convolution hold in discrete time — commutativity survives
 
-### 5. Nonlinearity and consequences
+### 6. Nonlinearity and consequences
 - Real systems violate LTI: time-varying parameters, feedback, saturation
   - Each breaks a different condition: time-variance breaks TI, feedback and saturation break linearity
+  - Examples
+    - Modulated delay (chorus, flanger): delay time varies with time → time-invariance breaks; same input at different times yields different output
+    - Overdrive: saturation above threshold → linearity breaks; EQ before overdrive ≠ overdrive before EQ
 - Commutativity breaks — order of composition is no longer irrelevant
   - h₁ followed by h₂ ≠ h₂ followed by h₁ in general
   - No universal rule; behavior must be examined per case
@@ -73,7 +86,7 @@ The actual material (text that is read) is in Japanese.
 その上でシステムの性質を議論する。
 
 信号とは、一つ以上の変数の関数として定義される。
-情報を担う。
+信号は情報を担う。
 ここでは時間を変数とし、振幅の時間変化として扱う。
 
 システムとは、入力信号を出力信号へ写す操作である。
@@ -151,7 +164,22 @@ h₁ * h₂ = h₂ * h₁　（h1 畳み込み h2 イコール h2 畳み込み h
 しかし、もし十分な高周波成分が不要であれば、離散時間は有効な選択肢となる。
 これが離散化の根拠である。
 
-### 4. 離散時間
+### 4. フィルタ
+
+フィルタは、線形時不変システムの具体的な例である。
+フィルタは周波数応答 H(ω)（エイチ オメガ）によって特徴づけられる。
+周波数応答はインパルス応答のフーリエ変換である。
+フィルタリングとは、信号の周波数成分を選択的に通過させ、あるいは減衰させることである。
+
+基本的な分類としてローパス、ハイパス、バンドパスがある。
+ローパスフィルタは低周波成分を通過させ、高周波成分を減衰させる。
+ハイパスフィルタはその逆で、高周波成分を通過させ、低周波成分を減衰させる。
+バンドパスフィルタは特定の帯域のみを通過させ、それより低い成分も高い成分も減衰させる。
+
+離散時間においては、有限インパルス応答フィルタと無限インパルス応答フィルタの区別がある。
+前者はインパルス応答が有限、後者は無限である。
+
+### 5. 離散時間
 
 サンプリング周波数を Fs とする。
 ナイキストの定理が保証するのは、Fs/2（サンプリング周波数の半分）までの帯域を忠実に再構成できる、ということである。
@@ -164,7 +192,7 @@ Fs/2（サンプリング周波数の半分）を超える成分は再構成で
 畳み込みは有限または無限の和となる。
 可換性を含む全ての性質は引き継がれる。
 
-### 5. 非線形性とその影響
+### 6. 非線形性とその影響
 
 では、現実のシステムに戻る。
 先ほど線形時不変システムは特殊ケースであると述べた。
@@ -172,6 +200,16 @@ Fs/2（サンプリング周波数の半分）を超える成分は再構成で
 時変パラメータは時不変性を破る。
 フィードバックと飽和は線形性を破る。
 
+例を挙げる。
+モジュレーテッドディレイを考える。コーラスやフランジャーがその例である。
+ディレイタイムが時間とともに変化するとき、同じ入力でも入力するタイミングによって出力が異なる。
+これは時不変性の破れである。
+
+次にオーバードライブを考える。
+入力が閾値を超えると飽和が生じ、出力は入力に比例しなくなる。
+これは線形性の破れである。
+そして順序が問題になる。EQの後にオーバードライブを適用した結果と、オーバードライブの後にEQを適用した結果は、一般に異なる。
+
 このとき、畳み込みの可換性は成立しない。
 非線形システムでは、一般に
 h₁（システム1）の後にh₂（システム2）を適用した結果と、